原题链接:[luogu 3355] 骑士共存问题
题目大意:有一个的棋盘,上面规定了个点是被破坏了的,不能在上面放置棋子.每个棋子可以按象棋中"日"字型的方式移动,问整个棋盘上最多可以放置多少个互不攻击的棋子.
数据范围:
假如说把这个棋盘进行二染色,即染成下面这样:
那么对于一个棋子如果他所在的位置的颜色是红色,那么他走"日"字能到达的点一定是绿色;反之亦然.这是因为如果走偶数条路颜色相同,再多走一步显然颜色不同.因此整张棋盘可以二染色.对于原图的坐标来说,如果坐标之和为奇数,那么是绿色,反之就是红色.
在二染色之后,如果把所有的点按照绿色连红色的二分图来看的话,就相当于在这张图上求一个最大独立集,即最多能选多少个互不相连的点.根据结论:最大独立集=点数-最大匹配数.求出这张图的最大匹配即可求出.不过这张图上还有一些点被破坏了,所以计算答案的时候还需要额外的去掉有多少个点被破坏掉了.
考虑求最大匹配数:本题据说可以匈牙利过掉,不过我的匈牙利只有36分,很奇怪.这里给出最大流求解的方式.建图比较明显,就是源点为连向所有的左部点,汇点为被所有的右部点链接.每个绿色的点出发有八个方向的拓展点,连接即可.三种关系的流量都是.求最大流即可.
代码:
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 205 * 205,M = 2e6+7,INF = 1 << 29;
int edge[M],succ[M],cap[M],ver[N],idx = 1;
int n,m,s,t,d[N],pre[N],forbid[205][205],g[205][205];
ll incf[N],maxflow;
queue<int> q;
const int dx[8] = {-2,-2,-1,1,2,2,1,-1},dy[8] = {-1,1,2,2,1,-1,-2,-2};
void add(int u,int v,int w)
{
edge[++idx] = v;
cap[idx] = w;
succ[idx] = ver[u];
ver[u] = idx;
edge[++idx] = u;
cap[idx] = 0;
succ[idx] = ver[v];
ver[v] = idx;
}
bool bfs()
{
memset(d,0,sizeof d);
while(q.size()) q.pop();
q.push(s);d[s] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front();q.pop();
for(int i = ver[u];i;i = succ[i])
{
int v = edge[i];
if(cap[i] && !d[v])
{
q.push(v);
d[v] = d[u] + 1;
if(v == t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int u,int flow)
{
if(u == t) return flow;
int rest = flow,k,i;
for(int i = ver[u];i && rest;i = succ[i])
{
int v = edge[i];
if(cap[i] && d[v] == d[u] + 1)
{
k = dinic(v,min(rest,cap[i]));
if(!k) d[v] = 0;
cap[i] -= k;
cap[i ^ 1] += k;
rest -= k;
}
}
return flow - rest;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
s = 0,t = n * n + 1;
for(int i = 0;i < m;++i)
{
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
forbid[x][y] = 1;
}
for(int i = 1;i <= n;++i)
for(int j = 1;j <= n;++j)
{
if(forbid[i][j]) continue;
if((i + j) % 2 == 1)
{
int u = (i - 1) * n + j;
add(s,u,1);
for(int _ = 0;_ < 8;++_)
{
int a = i + dx[_],b = j + dy[_];
if(a < 1 || a > n || b < 1 || b > n || forbid[a][b]) continue;
int v = (a - 1) * n + b;
add(u,v,1);
}
}
else
{
int v = (i - 1 ) * n + j;
add(v,t,1);
}
}
int flow = 0;
while(bfs())
while(flow = dinic(s,INF))
maxflow += flow;
printf("%lld",n * n - m - maxflow);
return 0;
}